高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
定義 $i = \sqrt{-1}$，複變數 $z = x + iy$ 與其共軛複數 $\bar{z} = x - iy$。下列那一個複變函數為完整（entire），即在整個複數平面皆為可解析（analytic）？
- A $f(z) = iz\bar{z}$
- B $f(z) = x^2 + y^2 + i2xy$
- C $f(z) = e^{-x}(\cos y - i\sin y)$
- D $f(z) = \bar{z}$
思路引導 VIP
若要判斷一個複變函數是否在某處「可解析」，除了檢查它是否能寫成純粹關於 $z$ 的形式（而不含 $\bar{z}$）之外，你有什麼數學工具可以檢驗實部函數 $u(x,y)$ 與虛部函數 $v(x,y)$ 之間的對應關係？試著對各選項的實部與虛部進行偏微分，看看哪一個函數在整個平面都能滿足那組關鍵的聯立方程式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
做得好！能正確識別複變函數中的完整函數（Entire Function），顯示你對複數分析的基礎掌握得相當紮實。在工程力學（如流體力學或熱傳導）中，解析函數的概念是解析勢能問題的核心。
2. 觀念驗證
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