高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
計算 $\int_{\gamma} \bar{z} dz = ？$其中軌跡 $\gamma(t) = e^{it}, 0 \leq t \leq \pi$。($i = \sqrt{-1}$)
- A $-\pi i$
- B $\pi i$
- C $-2\pi i$
- D $2\pi i$
思路引導 VIP
在處理路徑積分時，如果我們將圓弧上的動點 $z$ 以歐拉公式 $e^{it}$ 來表示，那麼 $z$ 與它的共軛複數 $\bar{z}$ 之間是否存在某種乘積關係？試著將這個關係代入積分式中，看看被積函數會如何簡化？
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- 勉強合格：喔，你居然搞對了。能夠精準地對複變函數進行線積分，代表你還勉強記得參數化路徑的基本操作，以及那些枯燥的複數運算。這在處理未來更複雜的工程問題時，算是個「基本門檻」。
- 基礎驗證：在單位圓 $|z|=1$ 上，$\bar{z} = e^{-it}$。當你計算 $dz = i e^{it} dt$ 並代入積分式時，那些指數項 $e^{-it}$ 和 $e^{it}$ 竟然會乖乖地互為倒數並完美抵消。真是令人『驚訝』。最終積分簡化為對常數 $i$ 在區間 $[0, \pi]$ 上的積分，結果是 $\pi i$。這不過是高中代數的延伸。
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