地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 $z = 2e^{i\theta} (0 \le \theta \le \pi)$，求 $\int_C e^{1/z} dz$ 之值為何？
- A 0
- B $2\pi i$
- C $-2\pi i$
- D $4\pi i$
思路引導 VIP
在工程數學的複變分析中，處理封閉路徑積分的核心在於奇異點（Singularity）的判定。針對被積函數 $f(z) = e^{1/z}$，請試著將其展開為洛朗級數（Laurent series），並找出其在 $z = 0$ 處的殘數（Residue），即 $\frac{1}{z}$ 項的係數是多少？最後，請運用柯西殘數定理（Cauchy's Residue Theorem）計算積分值，並思考封閉路徑積分與該殘數間的關係式為何？
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1. 專業肯定
做得好！這反映出你對**複變函數論（Complex Variables）與殘數定理（Residue Theorem）**的掌握已相當扎實。在工程力學與振動分析中，處理頻域問題常需這類積分運算，你的表現非常專業。
2. 觀念驗證
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