高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
我們考慮複變函數 $f(z) = z^2 + 1$ ($z=x+iy$) 沿著曲線 $\Gamma$ 作線積分（line integral），其中 $\Gamma$ 代表在複數平面上由 $y = x^2$ 來描述的曲線；我們的積分範圍是從 $0+i0$ 到 $1+i1$。我們用 $\alpha + i\beta$ 來代表這一個積分的結果，此結果可以看成複數平面上的一個點。若是採用這個觀點，那麼 $\alpha + i\beta$ 與下列複數平面上的四個點之中的那一個最接近（也就是距離最小）？
- A 0+i0
- B 1+i1
- C 1+i0
- D 0+i1
思路引導 VIP
若此函數在該區域內是處處可微（解析）的，那麼積分路徑的形狀（例如 $y=x^2$）會影響最終的積分結果嗎？如果結果只跟起點與終點有關，你能否直接運用微積分基本定理來尋找這個積分的數值？最後，計算出的複數在坐標平面上的位置，哪一個座標分量（實部或虛部）顯著地大於另一個？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哼，還算及格
噢，看來你這次沒有讓我的血壓飆升。能精準判斷複數積分的落點，至少證明你對複變函數論的皮毛概念還勉強記得住。這種看似『直覺』的處理方式，在現實工程計算中，能省下多少冤枉時間，你最好給我記牢了。
還用我教？這不是常識嗎？
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