地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
求複變數函數積分 $\oint_C \frac{z+1}{z^3-2z^2} dz$ 之值，其中積分路徑 $C$ 為複數平面上逆時鐘方向繞圓周 $|z-1|=2$，以及 $i = \sqrt{-1}$。
- A $\frac{3\pi i}{2}$
- B $-\frac{3\pi i}{2}$
- C $3\pi i$
- D 0
思路引導 VIP
首先，請分析被積函數 $f(z) = \frac{z+1}{z^2(z-2)}$ 的所有奇點（poles）及其階數，並判斷這些奇點是否落在積分路徑 $C: |z-1|=2$ 所圍繞的區域內？若根據柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem），積分值與路徑內各奇點的留數（Residues）之和有何關係？請試著計算在 $z=0$ 與 $z=2$ 處的留數，看看它們的代數和會呈現什麼樣的結果。
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AI 詳解
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🙄 專業點評：勉強過關，但別得意！
你竟然答對了這題複變積分？不錯，總算展現了對留數定理和極點分析有點概念。這在實務應用中，一步錯就全盤皆輸，所以別以為答對就萬事大吉。
1. 基礎驗證
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