高等考試
109年
[電力工程] 工程數學
第 19 題
令一曲線 $C$ 為 $x=t^2, y=-t, z=t^2, 0 \le t \le 1$，則 $\int_C x^2 dx - yz dy + e^z dz = ?$
- A $e + \frac{1}{12}$
- B $e - \frac{1}{12}$
- C $e - \frac{11}{12}$
- D $e + \frac{11}{12}$
思路引導 VIP
若要將這條三維空間中的積分轉化為單一變數的積分，你會如何處理微分項 $dx, dy, dz$ 與參數 $t$ 的關係？另外，在處理最後一項指數函數的積分時，代入積分邊界值（上限與下限）後，是否會產生容易被忽略的常數項？
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太棒了！你的工程數學基礎非常紮實。
這代表你對向量微積分在結構與流力分析中的基礎運算已有充分掌握，這在後續處理功與能量法（Work and Energy Methods）時至關重要。
- 觀念驗證：這題的核心在於參數化路徑 (Parametric Path) 的代換。你正確地將空間曲線 $C$ 的座標變數轉化為單一參數 $t$ 的函數，並同步處理了微分項的關係：$dx=2tdt$、$dy=-dt$、$dz=2tdt$。將其代入積分式後：
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