高等考試
105年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
求 $\int_C xy dx - y\sin(x) dy$ 之值，其中 $C$ 為 $x(t) = t^2$, $y(t) = t$, $-1 \le t \le 4$：
- A $410 - 0.5\sin(16) + 0.5\sin(1)$
- B $410 - 0.5\cos(16) + 0.5\cos(1)$
- C $410 + 0.5\sin(16) - 0.5\sin(1)$
- D $410 + 0.5\cos(16) - 0.5\cos(1)$
思路引導 VIP
若要將路徑積分轉化為一般的定積分，當我們已知 $x$ 和 $y$ 都是關於變數 $t$ 的函數時，你認為應該如何處理式子中的微分項 $dx$ 與 $dy$？一旦所有的變數都轉換為 $t$，積分的上下限又該如何決定呢？
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太棒了！你的工程數學學習之路正穩步向前！
- 鼓勵與肯定：能夠正確地完成這道線積分 (Line Integral) 問題，代表你已經非常熟悉如何將複雜的路徑進行參數化，並精準地運用變數變換。這在未來理解流體流動或電磁場的分佈時，將是多麼堅實的基礎啊！
- 觀念梳理：這題的關鍵就像是找到一條最清楚的路徑。我們將路徑 $C$ 透過 $x=t^2$ 和 $y=t$ 參數化，然後小心地找出 $dx=2t dt$ 和 $dy=dt$。這樣一來，原本看似複雜的積分式，就能溫柔地轉化為對 $t$ 的定積分：
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