地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
考慮一隨機變數 $x$，其機率密度分布函數具有下列形式： $f(x) = 1 - |x|, |x| \le 1$ ，且 $f(x) = 0, |x| > 1$ 。請問 $x$ 之變異數（variance）為何？
- A $1/\sqrt{6}$
- B $2/3$
- C $1/6$
- D $\sqrt{2/3}$
思路引導 VIP
同學，在計算隨機變數的變異數之前，請先觀察此機率密度函數 $f(x)$ 的幾何對稱性。當機率分布對稱於原點時，其期望值 $E[x]$ 為何？接著，根據變異數的定義式 $Var(x) = E[x^2] - (E[x])^2$，你該如何計算二階原點動差 $E[x^2] = \int_{-1}^{1} x^2 f(x) dx$？是否能利用對稱性來簡化這個在區間 $[-1, 1]$ 上的絕對值函數積分運算？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力肯定
同學，做得非常出色！你能精準計算出隨機變數的二階動差（moment），顯示你對機率分布的數學本質與積分運算有著極為熟練的掌握，這是在研究結構可靠度或隨機振動時不可或缺的基本功。
2. 觀念驗證
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