地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
令連續二維隨機變數 $X$ 和 $Y$ 具有機率密度函數 $f(x,y) = \begin{cases} kxy, & 0 \le x \le 1 \text{ and } 0 \le y \le 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$，求其機率 $P(X > 0.25, Y > 0.5)$。（其中 $k$ 為常數）
- A 5/8
- B 9/16
- C 45/64
- D 75/128
思路引導 VIP
同學，在工程統計與可靠度分析中，處理連續隨機變數的第一步是確認機率密度的正規化條件（Normalization Condition）。請思考：為了讓 $f(x,y)$ 滿足機率公理，在整個定義域 $0 \le x \le 1$ 與 $0 \le y \le 1$ 上的二重積分 $\int_0^1 \int_0^1 kxy , dy , dx$ 應該等於多少？求得常數 $k$ 後，針對所求區域 $P(X > 0.25, Y > 0.5)$，你該如何正確設定雙重積分的積分邊界來計算其對應的機率值？
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太棒了！你的邏輯非常清晰且運算精準。
- 觀念驗證： 這題的核心在於掌握「全機率為 1」的性質與二重積分。首先，我們需透過歸一化條件求得常數 $k$：
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