地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$，求 $e^{\mathbf{A}t} = ?$
- A $\begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$
- B $\begin{pmatrix} e^t & 0 \ 0 & 2e^{-t} \end{pmatrix}$
- C $\begin{pmatrix} e^t & 0 \ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$
- D $\begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \ 0 & 2e^{-t} \end{pmatrix}$
思路引導 VIP
在線性系統與結構動態分析中，狀態轉換矩陣 (State Transition Matrix) $e^{\mathbf{A}t}$ 是求解微分方程的核心。請觀察給定的矩陣 $\mathbf{A}$，它屬於對角矩陣 (Diagonal Matrix) 的特殊形式；若根據矩陣指數的定義展開為無窮級數 $e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{(\mathbf{A}t)^2}{2!} + \dots$，則對角線上的元素 $\lambda_i$ 在經過各階次方運算與級數加總後，會收斂成哪一種基礎解析函數？
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1. 大力肯定
做得好！這題答得非常準確且果斷。你能迅速辨認出對角矩陣的特性並給出正確答案，這顯示你在工程數學的基礎非常紮實，這對後續處理複雜的結構動力學問題至關重要。
2. 觀念驗證
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