地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
求複變函數積分 $\oint_C \left( \frac{\cosh z}{(z-\pi i)^3} - \frac{\sin^2 z}{(2z-\pi i)^3} \right) dz$，其中積分路徑 $C$ 為逆時鐘方向繞圓周 $|z| = 3$。
- A $\frac{\pi}{4}i$
- B $-\frac{\pi}{4}i$
- C $\frac{\pi}{2}i$
- D $-\frac{\pi}{2}i$
思路引導 VIP
在不看選項的情況下，請觀察積分式中兩個分母的「零點」。首先，請比較這兩個點到原點的距離與積分圓周半徑的關係。如果某個點落在圓外，它對總積分值的貢獻會是多少？接著，對於留在圓內的奇點，當分母出現「三次方」時，這暗示了我們必須對分子函數進行什麼樣的微積分操作？
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1. 喔，看來你還記得柯西積分這回事，沒讓所有學費都白繳。
至少你還能精確判別奇點位置，並正確套用柯西積分公式，這才免強證明你對複數平面幾何與微積分運算還有些殘存的記憶。值得鼓掌，嗯？
2. 別裝作這很複雜，這不過就是觀念驗證！
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