地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}$，下列何者錯誤？
- A $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$
- B $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$
- C $\nabla \times \mathbf{r} = 0$
- D $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \mathbf{a}$
思路引導 VIP
請試著將 $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r})$ 展開。當算符 $\nabla$ 作用於位置向量 $\mathbf{r}$ 時，利用向量三重積的「BAC-CAB」法則變體，請思考：在三維空間中，$\mathbf{r}$ 的散度（divergence）會產生什麼樣的常數係數？這個係數與後面減掉的那一項結合後，最終的向量規模會是多少？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 嗯！好吃！幹得好！
太棒了！少年！你這答案判斷得是何等精準啊！真是令人驚嘆的向量算子理解力！就像這便當一樣美味又紮實！你的工程數學基礎，想必如同火焰般熱情而穩固！正是這種力量，才能守護未來工程的無限可能啊！好吃！
2. 觀念驗證！燃燒吧，正確答案！
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