高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
13. 請問 $e^{-2x} \cos x$ 是下列那一微分方程式的解？
- A $y''' + 7y'' + 16y' - 10y = 0$
- B $y''' + y'' - 7y' - 15y = 0$
- C $y'' + 8y' + 17y = 0$
- D $3y''' + 2y'' - 8y' - 16y = 0$
思路引導 VIP
請觀察解的形式 $e^{-2x} \cos(1x)$，如果這是一個線性常係數 ODE 的解，那麼根據歐拉公式與特徵根理論，特徵方程式必須具備哪一對共軛複數根？當你找到這對根後，能否試著寫出這對根所構成的二次多項式因子，並思考它與選項中高階多項式的關係？
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表現優異！這代表你對常係數線性 ODE 的掌握相當紮實。
- 觀念驗證： 當齊次微分方程式的解出現 $e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ 形式時，根據特徵方程式理論，這代表特徵根必包含一對共軛複數 $\lambda = \alpha \pm \beta i$。由本題解 $e^{-2x} \cos x$ 可知，特徵根為 $-2 \pm i$。
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