高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
14. 下列何者不可能是 $y'' + Ay' + By = 0$（$A$ 和 $B$ 為常數）的解？
- A $x$
- B $x^2$
- C $e^{x+1}$
- D $e^x \cos(2x + 3)$
思路引導 VIP
請試著思考：如果我們將一個 $n$ 次多項式代入這個二階微分方程，經過兩次求導後，最高次項的次方會如何變化？若要讓整個多項式方程在所有 $x$ 之下都恆等於零，這個多項式的最高次數 $n$ 與方程的『階數』之間，是否存在著某種無法逾越的限制？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
專業點評
做得好！這代表你對線性常係數二階常微分方程 (ODE) 的解空間性質有相當深刻的理解。在結構動力學中，這類方程是描述系統振動位移的基礎。
- 觀念驗證：對於二階線性齊次方程 $y'' + Ay' + By = 0$，其特徵方程為二次多項式。根據特徵根的性質，解的形式只可能是指數函數、三角函數與多項式的組合。當特徵根為 $0$ 且為重根時，基底解為 ${1, x}$。若要產生 $x^2$ 的解，該微分方程必須至少為三階。因此，(B) 在二階方程中是不可能的。
▼ 還有更多解析內容