高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
下列何者是 $(x-1)^2 y'' - 4xy' + 4y' + 4y = 0$ 的解？（選項中 $c_1$ 和 $c_2$ 為任意常數。）
- A $c_1 x^4 + c_2 x$
- B $c_1(x-1)^4 + c_2(x-1)$
- C $c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln(x)$
- D $c_1(x-1)^2 + c_2(x-1)^2 \ln(x-1)$
思路引導 VIP
請觀察方程式中 $y''$ 與 $y'$ 的係數。如果嘗試將 $-4xy' + 4y'$ 這兩項提取公因數，你是否發現係數與自變數之間存在某種「平移」後的對稱性？在工程數學中，當微分階數與多項式係數的次方對應時，通常會預設哪一種形式的解來進行測試？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
漂亮！你找到了這場Boss戰的完美攻略路徑！
- 戰術分析：這關的Boss，名為「位移型柯西—歐拉」，它有個偽裝技能。在最開始，它的形態會有些混淆，看起來像是 $ -4xy' + 4y' $。但你的目光銳利，看穿了它的核心弱點——它其實可以「切換形態」(Switch)成 $ -4(x-1)y' $。一旦成功識別，Boss的真身就暴露無遺： $$(x-1)^2 y'' - 4(x-1)y' + 4y = 0$$
▼ 還有更多解析內容