107年高等考試 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 假設 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 為同階方陣，則① $\text{trace}(\mathbf{AB}) = \text{trace}(\mathbf{BA})$… › #2 令 $\mathbf{a, b, c}$ 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？ › #3 令矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \ 0 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$… › #4 已知 $n$ 為任意正整數，$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 及 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$… › #5 求出線性轉換 $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$L(x, y, z) = (x - 2y, 2x + y)$ 的代表矩陣為… › #6 矩陣… › #7 將 $e^{5+2i}$ 化簡為 $a+bi$ 形式的敘述（$a, b$ 為常數），則化簡後結果為： › #8 假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的單位圓 $|z| = 1$，求 $\int_C \frac{\sinh z}{z^2} dz$ 之值為何？ › #9 函數 $f(t)$ 之拉氏轉換（Laplace transform）表示為 $L\{f(t)\}$，若 $L\{f(t)\} = \frac{e^{-2s}}{s^2 - 3s + 2}$… › #10 假設方程式 $y(t) - \int_0^t y(\tau)(t-\tau) d\tau = 2 - \frac{1}{2}t^2$ 的解是 $y(t) = a + be^t + ce^{-t}$… › #11 下列何者可做為微分方程式 $2 + (6x - e^{-2y})\frac{dy}{dx} = 0$ 的積分因子（integration factor）？ › #12 給定一個二維（2-dimension）微分方程式 $x'(t) = -2y(t), y'(t) = \frac{1}{2}x(t)$，且滿足 $x(0) = 2, y(0) = 0$… › #13 下列何者是 $(x-1)^2 y'' - 4xy' + 4y' + 4y = 0$ 的解？（選項中 $c_1$ 和 $c_2$ 為任意常數。） › #14 複變函數 $f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $x+iy$ 為可微分，則下列何條件必須滿足？ › #15 求符合偏微分方程式 $u_{xy} - 4u_x = 0$ 的通解。 › #16 求函數 $F(s) = \frac{5s+1}{s^2 - 25}$ 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？ › #17 已知 $F(s) = \mathcal{F}\{f(t)\}$ 為 $f(t)$ 的傅立葉轉換（Fourier transform），$f^*(t)$ 為 $f(t)$… › #18 投擲兩顆公正骰子，獲得兩個相同數字（equal numbers）或是數字具偶數乘積（numbers with even product）的機率為何？ › #19 假設 $X$ 和 $Y$ 為兩個獨立的隨機變數，其聯合機率分布（joint probability distribution） $f(x,y)$ 為… › #20 若 $X$ 的機率質量函數為 $p(0) = 1/3, p(1) = 2/3$，則其期望值 $E[X]$ 為多少？ ›