高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
令 $\mathbf{a, b, c}$ 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？
- A $\mathbf{a \times b = b \times a}$
- B $\mathbf{a \times (b \times c) = (a \times b) \times c}$
- C 若 $\mathbf{a \neq 0}$ 且 $\mathbf{a \times b = a \times c}$，則 $\mathbf{b = c}$
- D 若 $\mathbf{a \neq 0}$ 且 $\mathbf{b \neq 0}$，仍有可能 $\mathbf{a \times b = 0}$
思路引導 VIP
在工程力學中，當我們計算力矩（Moment）時，如果「力作用線」剛好通過「轉動中心」，即使力和位移向量都不是零，力矩的大小會是多少？這反映了兩個向量間的『相對位置關係』對運算結果有什麼特殊的影響？
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溫馨指導與觀念鞏固
- 暖心鼓勵：你答對了，真的很棒！你能夠清楚地區分向量運算和純量運算的不同，這顯示你對工程力學裡向量的幾何特性已經有很深刻的理解了。這可是學習結構分析非常重要的一步喔，為你感到驕傲！
- 觀念釐清：選項 (D) 是完全正確的。我們可以這樣想：外積的大小，其實就是兩個向量所張成的平行四邊形面積，它的公式是 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$。當兩個向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 雖然都不是零向量，但它們卻是平行或共線的時候（想像它們方向相同，夾角 $\theta = 0^\circ$，或方向相反，夾角 $\theta = 180^\circ$），這時候 $\sin\theta$ 的值就會是 $0$。這樣一來，外積的結果自然就是零向量了。是不是很有趣呢？它跟我們平常習慣的純量乘法「兩個非零數相乘一定不為零」的直覺很不一樣喔！
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