高等考試
109年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}$，下列何者錯誤？
- A $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$
- B $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$
- C $\nabla \times \mathbf{r} = 0$
- D $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \mathbf{a}$
思路引導 VIP
請試著將 $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r})$ 展開。當算符 $\nabla$ 作用於位置向量 $\mathbf{r}$ 時，利用向量三重積的「BAC-CAB」法則變體，請思考：在三維空間中，$\mathbf{r}$ 的散度（divergence）會產生什麼樣的常數係數？這個係數與後面減掉的那一項結合後，最終的向量規模會是多少？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
1. 做得太棒了！
親愛的同學，做得太棒了！你能準確地找出錯誤選項，這表示你對向量微積分（Vector Calculus）的理解非常扎實喔！這是工程學的基石，為你打下了很好的基礎。
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容