高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
利用梯度求解曲面 $\phi: xy^3z^2 = 4$ 在 $(-1, -1, 2)$ 點之法向量的過程與結果，以下何者錯誤？（其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 為三度空間 $R^3$ 之單位向量，$\hat{i} = (1,0,0), \hat{j} = (0,1,0), \hat{k} = (0,0,1)$）
- A $\nabla\phi = y^3z^2\hat{i} + 3xy^2z^2\hat{j} + 2xy^3z\hat{k}$
- B 曲面 $\phi$ 在點 $(-1, -1, 2)$ 上之法向量為 $-4\hat{i} - 12\hat{j} + 4\hat{k}$
- C 曲面 $\phi$ 在點 $(-1, -1, 2)$ 之單位法向量為 $\pm \frac{1}{\sqrt{11}}(-1\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k})$
- D $8\hat{i} + 24\hat{j} - 24\hat{k}$ 為曲面 $\phi$ 在點 $(-1, -1, 2)$ 之法向量
思路引導 VIP
假設你有一個函數 $f(x,y,z) = K$，當我們想在曲面上某一點找到垂直於該面的方向時，數學上我們會對函數進行什麼樣的向量運算？當你求得該特定點的「基本方向向量」後，若要判斷另一個向量是否也具備「垂直於該點」的性質，這兩個向量在幾何關係（或分量比例）上必須滿足什麼條件？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
做得好！能準確判斷出錯誤選項，代表你對梯度（Gradient）與曲面法向量的物理幾何意義掌握得相當扎實。這在結構力學的應力分析中是極為基礎且關鍵的能力。
2. 觀念驗證
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