調查局三等申論題
114年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
一、我們考慮一個雙變數純量場（scalar field）：f(x, y) = x \cdot e^{-xy}。
一、我們考慮一個雙變數純量場（scalar field）：f(x, y) = x \cdot e^{-xy}。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
(一)f(x, y)在(1, -3)這個點上面的梯度（gradient）為何？（8 分）
思路引導 VIP
看到求純量場的梯度，應立即想到計算其對應各獨立變數的偏導數（(\frac{\partial f}{\partial x}) 與 (\frac{\partial f}{\partial y})）以構成向量。計算時需仔細運用微分乘法法則與連鎖律，最後將指定座標點代入即可求得該點的局部變化率向量。
小題 (二)
(二)f(x, y)在(1, -3)這個點上面沿著($\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}})$這個單位向量之方向的方向導數(directional derivative)為何？（7 分）
思路引導 VIP
看到「方向導數(directional derivative)」，應立即想到計算純量場的梯度向量（Gradient），再與該方向的「單位向量」進行內積。本題所給方向向量長度為1（已是單位向量），故直接對函數進行偏微分、代入座標點求得梯度後，與之作內積即可得解。
梯度與方向導數計算
💡 掌握梯度向量的偏微分運算及其與方向導數的內積關係。
🔗 方向導數求解步驟
- 1 偏微分運算 — 針對變數 x 與 y 分別求偏導數 ∂f/∂x 與 ∂f/∂y
- 2 建構梯度向量 — 代入特定點座標，求出該點梯度向量 ∇f(a, b)
- 3 確認單位向量 — 檢查方向向量 u 是否為單位向量，若否則需進行單位化
- 4 執行內積 — 計算 ∇f · u 得到該點沿該方向的方向導數數值
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用梯度向量可進一步求得曲面在該點的切平面法向量。
