調查局三等申論題
111年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
一、針對一個三度空間中的向量場（vector field）F⃗=(x², xy, y+z²)，請執行下列計算：（每小題 5 分，共 20 分）
一、針對一個三度空間中的向量場（vector field）F⃗=(x², xy, y+z²)，請執行下列計算：（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請求出F⃗的散度（divergence），也就是∇ ⋅ F⃗，其中∇ = （∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z）（亦可寫為∇ = ı̂⋅∂/∂x + ̂⋅∂/∂y + k̂⋅∂/∂z，其中的ı、̂ 、̂ 分別為坐標軸的x-軸、y-軸、z-軸方向的單位向量）。
思路引導 VIP
本題測驗向量微積分中的基本運算「散度」。考生應直觀聯想到散度算子即為微分算子與向量場的內積，將向量場的各分量分別對應其空間坐標變數求偏導數，再進行相加即可得一純量場。
小題 (二)
請求出F⃗的旋度（curl），也就是∇ × F⃗。
思路引導 VIP
看到求向量場旋度（curl），應立即聯想到使用 ∇ × F⃗ 的三階行列式定義。解題關鍵在於正確展開行列式，並仔細處理每一個空間座標變數 (x, y, z) 的偏導數，避免混淆變數造成計算失誤。
小題 (三)
∇ ⋅ ∇ × F⃗ =？
思路引導 VIP
看到向量場「旋度的散度」即 \nabla \cdot (\nabla $\times \vec{F})$，考生應直覺聯想向量微積分的恆等式，其結果恆為零。但在國考閱卷標準上，為了展現扎實的推導能力與定義正確應用的要求，建議先具體計算出旋度向量，再對其取散度來驗證結果，切忌僅寫出結論而略過推導過程。
小題 (四)
∇ × ∇ × F⃗ =？
思路引導 VIP
面對計算『旋度的旋度（curl of curl）』，考生應先思考兩種策略：一是依序利用行列式定義分步計算 \nabla $\times \vec{F}$再取一次旋度；二是利用向量恆等式 \nabla $\times (\nabla \times \vec{F}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{F}) - \nabla^2 \vec{F}$。對於多項式向量場，直接計算通常較直觀且不易出錯，但若能同時寫出恆等式作輔助或交叉驗證，將展現嚴謹的學術要求與深厚的工數底子，容易獲得閱卷委員青睞。