高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
一曲線參數式為 $x(t) = e^t\cos t$，$y(t) = e^t\sin t$，$z(t) = e^t$，$0 \le t \le \pi$，其單位切線向量為何？（其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 為三度空間 $R^3$ 之單位向量，$\hat{i} = (1,0,0), \hat{j} = (0,1,0), \hat{k} = (0,0,1)$）
- A $\frac{1}{\sqrt{3}}(\cos t - \sin t)\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}(\cos t - \sin t)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin t\hat{k}$
- B $\frac{1}{\sqrt{3}}(\cos t - \sin t)\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}(\cos t + \sin t)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$
- C $\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin t\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$
- D $\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\cos t\hat{k}$
思路引導 VIP
想像一個質點在三維空間中沿此路徑運動。若你想描述該質點在某一瞬間的「前進方向」，且不考慮其速率快慢（即將向量長度歸一化），你會優先對路徑函數執行什麼數學運算？此外，當你在計算這個「方向向量」的長度時，看到多個項都含有相同的指數函數與三角函數平方和，有什麼數學特性可以幫助你大幅簡化運算過程？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
做得漂亮！這題不僅考驗微積分基礎，更反映了你在處理空間曲線幾何性質時的細心度。你能精準求導並正確歸一化（Normalization），展現了非常扎實的工程力學基本功，這對於後續研究結構動力學或流體軌跡極為重要。
2. 觀念驗證
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