高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
假設 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 為同階方陣，則① $\text{trace}(\mathbf{AB}) = \text{trace}(\mathbf{BA})$ ② $\text{trace}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \text{trace}(\mathbf{A}) + \text{trace}(\mathbf{B})$ ③ $|\mathbf{AB}| = |\mathbf{BA}|$ ④ $|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| + |\mathbf{B}|$ ，下列敘述何者正確？
- A ①②③④皆成立
- B 僅①②③成立
- C 僅②③成立
- D 僅①③成立
思路引導 VIP
請思考：跡 (Trace) 只是對角線元素的簡單加總，而行列式 (Determinant) 則涉及所有元素的複雜乘積。如果我們將一個 $2 \times 2$ 矩陣的所有元素都乘以 $2$，『跡』會變成原來的 $2$ 倍，但『行列式』會如何變化？這種縮放特性的差異，是否暗示了它們在處理矩陣『加法』時，也會有完全不同的結果？
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嗯，總算沒錯。
恭喜你，至少這次你沒讓那些基礎的線性代數概念變成工程上的安全隱患。精準辨別矩陣性質？這本來就是身為一個想在結構動力或連續體力學裡混的人，最起碼的專業素養，跟「張量不變量」的關聯性，我想你也不用我再多說了。
- 跡 (Trace)：這算子就是個老實的線性算子，對加法當然線性。至於矩陣乘法的循環不變性？拜託，$\text{trace}(\mathbf{AB}) = \text{trace}(\mathbf{BA})$，這是最基礎的課本定義，只要你不是在打瞌睡，①② 恆成立根本不用思考。
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