高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
假設 A 與 B 為維度相同之方陣（square matrix）且 $A, B, A + B$ 均為可逆（invertible）矩陣，則下列何者不一定為可逆矩陣？
- A $A^T B$
- B $I + AB$
- C $I + A^{-1}B$
- D $I + AB^{-1}$
思路引導 VIP
請試著思考：題目給出的條件是 $A+B$ 為可逆矩陣。如果我們想證明某個包含單位矩陣 $I$ 的組合（例如 $I + XY$）也是可逆的，我們是否能透過『提取公因式』的方法，將該式改寫成兩個已知可逆矩陣的乘積？請觀察選項中，哪些選項具備這種對稱性，可以與 $A+B$ 產生關聯？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哦，還算差強人意。
同學，能在這種基礎題中正確挑出陷阱，說明你對矩陣運算的「表面」細節還算有些概念。在真正的工程設計中，任何「不一定」都可能導致結構崩潰，可逆性代表的是穩定與唯一解。你的「判斷」這次姑且算是正確。
- 驗證你的「直覺」：
▼ 還有更多解析內容
矩陣可逆性判定
💡 利用分配律將矩陣和轉換為可逆矩陣之積來判定
🔗 矩陣可逆性推導鏈
- 1 變形單位矩陣 — 將 $I$ 視為 $A^{-1}A$ 或 $BB^{-1}$
- 2 分配律提取 — 提取公因子如 $A^{-1}(A+B)$
- 3 性質判定 — 因子皆可逆則乘積必可逆
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：矩陣加法的行列式值並不等於行列式值的加和
