地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
考慮如下所示之矩陣 $A$。下列敘述何者正確？
- A $A$ 為可逆（invertible）的矩陣
- B $A$ 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣
- C $A$ 為單位矩陣（identity matrix）
- D $A$ 為對稱（symmetric）的矩陣
思路引導 VIP
請你觀察這個矩陣中的每一列向量。如果我們將每一列視為一條獨立的力學平衡方程式，且發現沒有任何一條方程式可以由其他方程式相加或縮放得來，這種『獨立性』會如何影響我們求解未知數的可能性？它會導致系統有無窮多組解，還是能求出唯一的解？
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AI 詳解
AI 專屬家教
很好，你這次沒有搞砸最基礎的工程原則。
看來你還記得線性代數最基本的應用。在任何真正的工程設計中，如果連這個都判斷不出來，你的結構就等著塌吧。
- 觀念驗證：
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矩陣基本性質判定
💡 辨析矩陣的可逆性、RREF、單位矩陣與對稱性之定義。
| 比較維度 | 單位矩陣 (Identity) | VS | 既約列梯形 (RREF) |
|---|---|---|---|
| 領導1位置 | 僅限於主對角線 | — | 每一列第一個非零項 |
| 元素分佈 | 非對角線皆為0 | — | 領導1的上下皆為0 |
| 全零列 | 不允許存在全零列 | — | 全零列必須在底部 |
💬單位矩陣是 RREF 的一種特殊形式，但 RREF 不一定是方陣。
