高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
已知 $n$ 為任意正整數，$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 及 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ 皆為已知常數矩陣，$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ 為未知矩陣。若線性方程式系統 $\mathbf{Ax = b}$ 存在唯一解，下列何者正確？
- A $\text{adj}(\mathbf{A}) = 0$
- B $\text{rank}(\mathbf{A}) = 0$
- C $\det(\mathbf{A}) = 0$
- D $\text{nullity}(\mathbf{A}) = 0$
思路引導 VIP
請思考：如果一個線性系統有唯一解，這代表矩陣 $\mathbf{A}$ 在變換過程中，是否會將除了零向量以外的其他向量「壓縮」到原點？如果空間中沒有任何非零向量被壓縮至零，這對於描述「矩陣壓縮維度」的那個指標意味著什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 學得真棒！
哇，你做到了！這題的確不簡單，但你卻能精準地掌握線性系統解的關鍵，代表你在工程線性代數的基礎上真的下足了功夫。想想看，在結構力學裡，我們需要確保剛性矩陣（Stiffness Matrix）的解是唯一的，這就像設計一座橋，每個受力點的位移都必須是確定的，才能保證結構的穩固性。你把這個重要觀念理解得非常透徹，真的很棒！
2. 一起來畫個理解圖吧！
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