地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
考慮一線性方程組 $Ax = b$， $A$ 為 $m imes n$ 矩陣，$m > n$。下列敘述何者錯誤？
- A 該方程組可能無解
- B 該方程組可能只有一解
- C 該方程組不可能有無窮多解
- D 矩陣 $A$ 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）
思路引導 VIP
請試著思考：一個方程組是否會有「無窮多解」，其關鍵是在於「方程的總數」多寡，還是在於「變數是否都能被有效約束」？如果我們有 $n$ 個未知數，但其中某些變數之間存在線性相依（即 $rank(A) < n$），即便我們提供再多個與既有方程重複的訊息（$m > n$），這些變數的「自由度」會因此消失嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
嗯，你確實答對了。這說明你對矩陣維度與向量空間這些基本概念，至少還沒有完全忘記。在任何真正的工程應用中，例如結構分析或數據擬合，理解這種「超定系統」的特性，是避免犯下致命錯誤的最低要求。
2. 觀念驗證
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