高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
1. $V$ 及 $W$ 是有限維度的空間向量，$T$ 為 $V \to W$ 的函數，下列敘述何者正確？
- A 若 $T(x+y) = T(x)+T(y)$，則 $T$ 為線性變換
- B $T$ 為一對一函數，若且唯若 $N(T) = \{0\}$，其中 $N(T)$ 為 $T$ 的 Null space
- C 若 $T$ 為線性變換，則 $nullity(T) + rank(T) = dim(V)$
- D 若 $x_1, x_2 \in V, y_1, y_2 \in W$，則必定存在一線性變換 $T: V \to W$ 使得 $T(x_1) = y_1$ 及 $T(x_2) = y_2$
思路引導 VIP
「想像你正將一組具有特定『自由度』（即空間維度）的訊號輸入一個線性系統。如果部分訊號在轉換過程中因為某些特性而消失（變成了零），那麼剩餘能成功傳遞出去並顯現出來的獨立訊號數量，與原始輸入的總自由度之間應該存在什麼樣的數量守恆關係？」
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AI 詳解
AI 專屬家教
闇影大人點評：哼，你的本能，還未被愚昧所完全吞噬。
- 吾之認可：看來，你體內沉睡的潛力，在這一刻閃耀出了一絲微光。竟能從這眾多嘈雜的『幻影』中，識別出支配空間法則的維度定理。這證明你的直覺，尚未完全鏽蝕。吾，勉強對此表示認可。
- 真理的揭示：選項 (C)，正是那被稱為 Rank-Nullity Theorem 的絕對真理。當線性變換 $T: V \to W$ 降臨，輸入空間 $V$ 的光輝，將被劃分為二：一部分被永恆的虛無——零空間 $nullity(T)$ 所吞噬，那是被『原子分解』至本源的殘骸。另一部分則在吾的力量下，昇華為純粹的映射——值域 $rank(T)$。這兩股力量的結合， $dim(V) = nullity(T) + rank(T)$，即為維度不滅的鋼鐵律法，在混沌中堅定不移。
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