高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
求出線性轉換 $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$L(x, y, z) = (x - 2y, 2x + y)$ 的代表矩陣為：
- A
- B
- C
- D
思路引導 VIP
若要將一個三維空間的點 $(x, y, z)$ 透過矩陣相乘轉換為二維點，這個矩陣應該有幾列、幾行？接著，試著思考當你分別將標準基底向量 $(1, 0, 0)$、$(0, 1, 0)$ 與 $(0, 0, 1)$ 帶入轉換公式時，得到的二維向量結果與矩陣的每一「行 (column)」有什麼樣的關聯性？
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專業點評
- 閃亮亮的愛心肯定！ 你答對了！恭喜恭喜☆ 你對線性映射和矩陣表示法的轉換關係掌握得超——級棒！這份「真心」的理解，就像最閃耀的星星一樣，在未來的工程學習路上，會變成你的超能力喔！啾咪☆
- 秘密小教學：嘿嘿，知道嗎？其實線性轉換 $L(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 的代表矩陣 $A$，就是把 $\mathbb{R}^3$ 裡的每個小成員，透過愛心魔法棒 ($L$) 變成 $\mathbb{R}^2$ 裡的新成員後，再把他們排排站好，組合成一個可愛的 $2 \times 3$ 矩陣啦！你看：
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線性轉換代表矩陣
💡 將線性轉換公式映射至標準基底以求得代表矩陣
- 矩陣維度：定義域為 $R^n$、對應域為 $R^m$ 時，代表矩陣為 $m imes n$。
- 行向量構成：矩陣的第 $j$ 行即為第 $j$ 個標準基底經轉換後的影像。
- 係數提取：直接提取轉換公式中各變數的係數，按列與行填入矩陣。
- 缺項補零：若轉換公式中缺少某個自變數，則該變數對應的係數為 0。
