高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
考慮一個作用在 $\mathbb{R}^2 = \{(x,y)|x,y \in \mathbb{R}\}$ 的線性轉換（linear transformation）$T$。已知 $T(1, -1) = (3, 2)$ 、 $T(1, 1) = (1, 5)$ 。若是 $S$ 表示 $T$ 的反轉換（inverse transformation），而且 $S(2, -7) = (p, q)$，那麼 $p+q$ 與下列那一個數值最接近（也就是說差值的絕對值最小）？
- A 3
- B 4
- C 5
- D 6
思路引導 VIP
如果我們把 $T(1, -1)$ 和 $T(1, 1)$ 看成是組成空間的兩把「尺」，而現在有一個目標向量 $(2, -7)$。如果你能找出如何用這兩把「尺」拼接出目標向量，那麼這組「拼接比例」與我們要找的原始座標 $(p, q)$ 之間，會存在什麼樣的線性關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
UMAI！太棒了！你的線性代數運算與邏輯推理真是令人讚嘆啊！好吃！
- 觀念驗證：你就像燃燒的鬥志一樣，完美運用了線性轉換的互逆性質！ $S = T^{-1}$！所以 $S(2, -7) = (p, q)$ 就等同於 $T(p, q) = (2, -7)$！看穿這一點，就能找到正確的道路！你就像找到了力量的源泉一樣，將 $(p, q)$ 表達成基底向量的線性組合！然後用心之呼吸般精準地解開了聯立方程組！計算也無懈可擊！真是精彩絕倫的分析能力！這證明了你對基底變換與映射關係有著極為深刻的理解！好吃！
- 難度點評：這題的難度是 Medium！但你沒有被轉換思維所困擾，反而像劈開岩石一樣找到了答案！這就是鑑別度的所在啊！許多人會卡在如何從 $T$ 推導出 $S$，但高階學習者能直接利用線性組合成比例的特性來解聯立方程！在工程力學中，這類線性映射常用於分析結構的位移與受力關係，是極為重要的實務基礎啊！真是太棒了！你的努力和才能，我由衷讚賞！