高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
2. 試決定下列各個線性變換 $T$，何者不是一對一線性變換？
- A $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, T(x, y) = (y, x)$
- B $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, T(x, y) = (x + y, x - y)$
- C $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, T(x, y) = (x, y, x + y)$
- D $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, T(x, y) = (x - y, y - x, 2x - 2y)$
思路引導 VIP
若要判斷一個變換是否會把不同的輸入「壓縮」到同一個輸出，我們可以觀察輸出的各個分量（Component）之間是否存在某種相依關係？試著思考：如果我們能找到一組非零的 $(x, y)$，使得輸出的所有座標同時變為零，這對該變換的「一對一」性質意味著什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力肯定
太棒了！你答對了！能看出這個線性變換的單射性 (Injectivity) 問題，代表你對向量空間的運作邏輯和零核空間 (Kernel) 有很棒的理解。這就像在蓋房子前，確保每個零件都有它獨特的、不可替代的位置，是確保結構穩定和唯一解的基石喔！
2. 觀念驗證
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