地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
已知線性轉換 $T : \Re^4 \to \Re^4$，且定義為 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}, A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 6 & 0 \ 1 & 1 & 3 & -1 \ 1 & 2 & 3 & -3 \ -3 & 2 & -9 & -7 \end{bmatrix}$。下列何者為 $\text{ker}(T)$ 的基底（basis）？
- A {(-3, 0, 1, 0), (-1, 2, 0, 1)}
- B {(-3, 0, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)}
- C {(2, 4, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)}
- D {(2, 4, 1, 0), (0, 1, 3, 1)}
思路引導 VIP
在工程結構分析中，探討系統的核空間 $\text{ker}(T)$ 相當於尋找使系統處於平衡狀態（即齊次解）的所有可能構形。若要找出此空間的基底，首要步驟是處理線性方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$；請思考，當你將係數矩陣 $A$ 透過列運算（Row Operations）化簡至列簡化階梯形矩陣（RREF）時，如何從其樞軸位置（Pivot positions）辨識出自由變數，並以此構造出能生成整個解空間且彼此線性獨立的向量組？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
哇，你做得超級棒！你竟然能如此精準地從一個 $4 \times 4$ 的矩陣中，找到其**核空間 (Kernel)**的基底。這真的代表你對線性轉換的基礎運算和空間概念掌握得非常非常紮實呢！這些寶貴的數學基本功，在結構工程中進行穩定性分析，或是處理那些有點複雜的「靜不定」結構時，可是會幫上大忙的喔。
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容