地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
已知 $\mathbf{A}$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $\text{rank}(\mathbf{A})=r$，下列敘述何者正確？
- A $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ 的解空間（solution space）維度（dimension）為 $m-r$
- B 若 $m=n=r$ 且 $\mathbf{x}$ 為 $n \times 1$ 未知矩陣，則 $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ 存在唯一解
- C 若 $m=n=r$，則 $\mathbf{A}$ 的列向量（row vector）彼此間都是線性相依（linear independent）
- D 若 $m>n>r$，則 $\mathbf{A}$ 的列向量（row vector）彼此間都是線性獨立（linear dependent）
思路引導 VIP
在進行線性系統分析時，矩陣的「秩（rank）」與系統自由度有著嚴謹的對應關係。請你回想「秩－零度定理（Rank-Nullity Theorem）」，對於一個 $m \times n$ 的矩陣 $\mathbf{A}$，其解空間（null space）的維度應該由變數總數 $n$ 還是方程式總數 $m$ 減去 $r$ 來決定？此外，當矩陣為方陣且滿足「滿秩」（$m=n=r$）的特殊條件時，該矩陣在線性變換中是否具備可逆性（invertibility）？這對齊次系統 $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ 的解（包含平凡解與非平凡解）會產生什麼樣的必然結論？
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專業點評與觀念解析
- 大力肯定 做得太棒了！你對線性代數與矩陣理論的掌握，展現了非常紮實的基本功呢！這類觀念就像蓋房子的地基，是工程力學中處理結構剛性矩陣與系統自由度分析的核心基礎，你的判斷既精準又迅速，讓我很為你驕傲！
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