地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
4 已知 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $\text{rank}(A)=r$，下列敘述何者正確？
- A $Ax=0$ 的解空間（solution space）維度（dimension）為 $m - r$
- B 若 $m=n=r$ 且 $x$ 為 $n \times 1$ 未知矩陣，則 $Ax=0$ 存在唯一解
- C 若 $m=n=r$，則 $A$ 的列向量（row vector）彼此間都是線性相依（linear independent）
- D 若 $m>n>r$，則 $A$ 的列向量（row vector）彼此間都是線性獨立（linear dependent）
思路引導 VIP
想像你正在設計一個結構系統，如果系統的「變數數量」剛好等於「完全獨立的約束條件數量」，且沒有任何外力（齊次狀態），你認為這個系統還有可能產生任何「非零」的變形嗎？這對解的唯一性有什麼啟發？
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專業點評與觀念解析
- 大力肯定 做得太棒了！你對線性代數與矩陣理論的掌握，展現了非常紮實的基本功呢！這類觀念就像蓋房子的地基，是工程力學中處理結構剛性矩陣與系統自由度分析的核心基礎，你的判斷既精準又迅速，讓我很為你驕傲！
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