調查局三等申論題
106年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
二、設線性轉換（linear transformation） T : R^3 \rightarrow R^3 表示如下： T(x_1, x_2, x_3) = (3x_1 + x_2, -2x_1 - 4x_2 + 3x_3, 5x_1 + 4x_2 - 2x_3).
二、設線性轉換（linear transformation） T : R^3 \rightarrow R^3 表示如下： T(x_1, x_2, x_3) = (3x_1 + x_2, -2x_1 - 4x_2 + 3x_3, 5x_1 + 4x_2 - 2x_3).
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求T之逆轉換（inverse of T）：T^{-1}(x_1, x_2, x_3)。（15 分）
思路引導 VIP
看到線性轉換求反轉換的題目，首先應將該轉換寫成標準矩陣形式（Standard Matrix） $A$。接著，透過計算其行列式 $\det(A)$ 確認反矩陣是否存在（非零即為可逆），最後利用伴隨矩陣法或高斯-若當消去法求出 $A^{-1}$，並將其乘回向量轉為函數表達式即為所求。
小題 (二)
求T^{-1}(1, 1, 0)。（5 分）
思路引導 VIP
本題要求特定向量的反轉換，核心概念是將問題轉化為求解線性非齊次聯立方程組。考生應直接列出聯立方程式，並透過消去法（如代入消去法或高斯消去法）嚴謹求得未知數，即可獲得滿分。