調查局三等申論題 111年 [電子科學組] 工程數學

第一題

📖 題組：
三、請考慮一個 2×2 矩陣，如下所示： A = [3 -1 1 1]

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

我們以A⁻¹來代表A的反矩陣（inverse matrix），那麼 A⁻¹ =？（5 分）

看到求二階方陣的反矩陣，首先應聯想到 2×2 矩陣的反矩陣公式。解題分為兩步：先計算行列式 det(A) 確認矩陣不為奇異矩陣（可逆），接著利用「主對角線元素互換、副對角線元素變號」的口訣代入公式即可求得答案。

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【解題關鍵】利用 2×2 矩陣之行列式與反矩陣公式進行推導。【解答】已知：矩陣 A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}

我們以det（A）來代表A的行列式（determinant），那麼det（A） =？（5 分）

看到 2×2 矩陣求行列式，請直接聯想主對角線元素之積減去副對角線元素之積的公式，即 det(A) = ad - bc。此題配分雖少且計算單純，但計算過程中務必注意負號的展開，避免因粗心失分。

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【解題思路】利用 2×2 矩陣行列式的基本定義與計算公式。【詳解】已知：

請證明A為不可對角化（not diagonalizable）。（10 分）

面對判斷矩陣是否可對角化的題型，首要步驟是計算特徵方程式找出特徵值及其『代數重數』。接著將特徵值代回求特徵向量，計算特徵空間的維度（即『幾何重數』）。若存在某個特徵值的幾何重數小於代數重數，即代表無法產生足夠的線性獨立特徵向量，該矩陣便無法對角化。

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【解題思路】利用特徵方程式求出特徵值及其代數重數，再檢驗對應特徵空間的幾何重數是否等於代數重數，若幾何重數小於代數重數，則該矩陣不可對角化。【詳解】已知：矩陣 A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}