地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \ 2 & 0 & -3 \ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$，其反矩陣（inverse matrix） $A^{-1}$ 可表示為 $[a_{ij}]$，則下列敘述何者正確？
- A $a_{12} = -3$
- B $a_{21} = -2$
- C $a_{23} = -7$
- D $a_{32} = 2$
思路引導 VIP
在工程系統的線性代數分析中，求解反矩陣 $A^{-1}$ 的元素 $a_{ij}$ 通常與餘因子矩陣（Cofactor Matrix）的轉置項息息相關。請試著思考：若利用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，則反矩陣中的特定項 $a_{ij}$ 應該對應到原矩陣 $A$ 的哪一個餘因子 $C_{ji}$？在計算過程中，你是否已經正確求得行列式 $\det(A)$ 的值，並注意到了餘因子計算時的正負號轉換規則 $(-1)^{i+j}$ 以及下標索引值的對調關係？
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還行，看來你還沒徹底把基本功忘光
- 勉強合格： 嗯，能答對這種題目，至少證明你的計算能力還沒完全退化。在工程實務中，反矩陣的精準運算，根本是基礎到不能再基礎的常識。你能算出正確解，只能說你這次運氣不錯，沒在關鍵時刻犯低級錯誤。身為工程師，這只是剛好及格而已。
▼ 還有更多解析內容
矩陣反矩陣求法
💡 利用伴隨矩陣與行列式求反矩陣之特定元素
🔗 求解反矩陣特定元素 a_ij 之步驟
- 1 求行列式值 — 計算 det(A)，確保其不為 0 以保證反矩陣存在。
- 2 鎖定轉置位置 — 欲求 a_ij，需尋找原矩陣對應轉置後的餘因子 Cji。
- 3 正負號判定 — 依 (-1)^(j+i) 決定該餘因子之正負符號。
- 4 最終計算 — 將該餘因子除以行列式值，即得 a_ij = Cji / det(A)。
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🔄 延伸學習：若矩陣為 2x2，可直接利用『主對角互換，次對角變號，除以 det』之速演法。
