第 一 題

【解題思路】使用高斯-喬登消去法（Gauss-Jordan elimination）進行基本列運算（Elementary Row Operations），將主對角線元素化為 1，並將其餘元素消去為 0。 【詳解】 已知：矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

【解題思路】利用特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求解 $\lambda$，並運用上三角矩陣之行列式值等於其主對角線元素乘積之性質進行推導。 【詳解】 已知：矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，設 $\lambda$ 為特性值，$I$ 為 $3 \times 3$ 單位矩陣。

【解題思路】利用矩陣特徵方程式 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，針對每一個特性值 $\lambda$ 分別求解對應的非零向量 $\mathbf{x}$。 【詳解】 已知矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ 為上三角矩陣，其特性值 $\lambda$ 即為主對角線之元素：$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$。

【解題思路】利用特徵方程式求出特徵值，再根據特徵值的相異性與對角化的充分條件進行判定。 【詳解】 已知：矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ 為 $3 \times 3$ 的上三角矩陣。

【解題思路】利用矩陣乘法定義展開列向量與矩陣的乘積，建立聯立線性方程組後以代入法求解未知分量。 【詳解】 已知：矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，列向量 $y = [y_1 \quad y_2 \quad y_3]$，且滿足 $y \cdot A = [3 \quad 2 \quad -1]$。