調查局三等申論題
110年
[電子科學組] 工程數學
第 二 題
二、設 A = \begin{bmatrix} $\frac{\sqrt{3}}{3}$& -$\frac{1}{3} \ \frac{1}{3}$& $\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$，求 A^{14}。（10 分）
📝 此題為申論題
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看到 $2 \times 2$ 矩陣的高次方計算，且元素具有特殊角的特徵（如 $\sqrt{3}$ 與 $1$ 的組合），應立即聯想到「純量乘積與旋轉矩陣」的表示法。將原矩陣轉換為 $r \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 的形式，再利用旋轉矩陣的高次方性質求解，可大幅節省計算量並避免特徵值分解的繁複複數運算。
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【解題思路】觀察矩陣元素具有特殊角的比例關係，可將其化為純量倍數與旋轉矩陣的乘積，利用旋轉矩陣的高次方幾何性質快速求解。 【詳解】 已知：矩陣 $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$。
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