調查局三等申論題
105年
[電子科學組] 工程數學
第 二 題
二、有一矩陣 A，已知其特徵值（eigenvalue）為 3 時，對應之特徵向量（eigenvector）為 [1, 1]^T，而特徵值是–2 時，對應之特徵向量為 [2, 1]^T，試計算 A^2 [4, 3]^T 為何？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到求某矩陣高次方乘上特定向量的題型，首要思考「是否可將該目標向量表示為特徵向量的線性組合」。利用線性代數中 $A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$ 的性質，能大幅避開繁瑣的矩陣對角化與求反矩陣的過程，直接獲得答案。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】利用特徵向量構成基底的概念，將目標向量展開為特徵向量的線性組合，再利用特徵值與特徵向量的性質 $A^n \mathbf{v} = \lambda^n \mathbf{v}$ 進行推導計算。 【詳解】 已知條件整理：
▼ 還有更多解析內容