調查局三等申論題
113年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
令矩陣 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix}。
令矩陣 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix}。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 A 的所有特徵值（eigenvalues）。（6 分）
思路引導 VIP
看到求特徵值的題目，首先想到建立並求解特徵方程式 det(A - λI) = 0。計算三階行列式時可選擇含零較多的行或列展開以簡化計算，最後利用分組提公因式等方法解出三次多項式的根。
小題 (二)
求矩陣 P 與 D，使得 D = P⁻¹AP 為一對角矩陣（diagonal matrix）。（8 分）
思路引導 VIP
看到矩陣對角化問題，首要步驟是計算特徵方程式 det(A-λI)=0 以求出所有特徵值（eigenvalues）。接著針對每個特徵值解齊次聯立方程式 (A-λI)x=0 找出對應的特徵向量（eigenvectors）。最後以特徵向量作為行向量構成變換矩陣 P，特徵值構成對角矩陣 D，並確保 P 每一行的特徵向量與 D 對應位置的特徵值相匹配。
小題 (三)
求 A⁴ + 3A³ - A² - 5A + 2I，其中 I 為 3×3 單位矩陣。（6 分）
思路引導 VIP
遇到矩陣的高次多項式求值，首選「凱萊-漢彌爾頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem)」。先求出矩陣 A 的特徵方程式，再利用長除法將目標的高次多項式除以特徵多項式求得餘式，即可大幅降階並簡化矩陣乘法的計算量。