調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
考慮如下所示之矩陣（matrix）： $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ (一)求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分） (二)針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
考慮如下所示之矩陣（matrix）： $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ (一)求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分） (二)針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分）
思路引導 VIP
求解矩陣的特徵值，首要關鍵是列出特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。對於二階方陣，只需將主對角線元素扣除 $\lambda$ 後計算行列式展開，再透過因式分解求解一元二次方程式即可求出特徵值。
小題 (二)
針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
思路引導 VIP
解題關鍵在於齊次線性系統的求解。首先回顧（或重新計算）特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求得的特徵值。接著，將每一個特徵值分別代入 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，解出對應的非零解空間，即為所求的特徵向量。注意作答時應標明特徵向量為一非零常數倍數的向量集合。
矩陣特徵值與向量
💡 利用特徵方程式 det(A-λI)=0 求解矩陣特徵值與對應向量。
🔗 特徵值與向量解題標準流線
- 1 構造矩陣 — 寫出 A - λI 之特徵矩陣形式
- 2 行列式運算 — 計算 det(A - λI) 並整理多項式
- 3 求解 λ — 解特徵多項式之根得到特徵值
- 4 回代解向量 — 將各 λ 分別代入解出核空間向量
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🔄 延伸學習：延伸學習：特徵值之和等於矩陣的跡（Trace），特徵值之積等於矩陣行列式值。
