調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
考慮如下所示之矩陣（matrix）： A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} (一)求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分） (二)針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
考慮如下所示之矩陣（matrix）： A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} (一)求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分） (二)針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分）
思路引導 VIP
求解矩陣的特徵值，首要關鍵是列出特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。對於二階方陣，只需將主對角線元素扣除 $\lambda$ 後計算行列式展開，再透過因式分解求解一元二次方程式即可求出特徵值。
小題 (二)
針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
思路引導 VIP
解題關鍵在於齊次線性系統的求解。首先回顧（或重新計算）特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求得的特徵值。接著，將每一個特徵值分別代入 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，解出對應的非零解空間，即為所求的特徵向量。注意作答時應標明特徵向量為一非零常數倍數的向量集合。