調查局三等申論題
107年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
三、有一矩陣 A = [[-1, 0], [1, -5]] ： (一)求 A 之特徵值（eigenvalues）與相對應之特徵向量（eigenvectors）。（10 分） (二)求矩陣 P 以滿足 P⁻¹AP 為對角矩陣（diagonal matrix）。（5 分） (三)求 A¹⁸。（5 分）
三、有一矩陣 A = [[-1, 0], [1, -5]] ： (一)求 A 之特徵值（eigenvalues）與相對應之特徵向量（eigenvectors）。（10 分） (二)求矩陣 P 以滿足 P⁻¹AP 為對角矩陣（diagonal matrix）。（5 分） (三)求 A¹⁸。（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 A 之特徵值（eigenvalues）與相對應之特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
思路引導 VIP
求解特徵值與特徵向量為線性代數的核心基本題。考生應先建立特徵方程式 det(A - λI) = 0 解出特徵值，再將其逐一代回齊次線性系統 (A - λI)x = 0，利用高斯消去法或直接觀察法解出相對應之非零特徵向量。
小題 (二)
求矩陣 P 以滿足 P⁻¹AP 為對角矩陣（diagonal matrix）。（5 分）
思路引導 VIP
看到「對角化（diagonalize）矩陣」，應直覺聯想到利用特徵向量建構轉換矩陣。只要將第一小題求得的各個線性獨立特徵向量，依序作為行向量（column vectors）組成矩陣 P，即可滿足 P⁻¹AP 為對角矩陣 D。
小題 (三)
求 A¹⁸。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗矩陣對角化（Diagonalization）的經典應用：求方陣的高次方。看到求方陣高次方時，應立即想到利用前一小題對角化的結果 $A = PDP^{-1}$，推導出 $A^{n} = PD^{n}P^{-1}$，再透過對角矩陣易於取次方的特性進行矩陣乘法即可。
矩陣特徵值與對角化
💡 利用特徵多項式與特徵向量，將矩陣對角化以簡化高次方運算。
🔗 矩陣高次方運算解題流程
- 1 求特徵值 — 解特徵方程式 det(A-λI)=0 得到 λ1, λ2
- 2 求特徵向量 — 解齊次方程 (A-λI)x=0 找出基礎解系
- 3 對角化構造 — 令 P=[v1 v2], D=diag(λ1, λ2)
- 4 高次方運算 — 套用公式 A^n = P (D^n) P^-1 求解
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🔄 延伸學習：延伸學習：若特徵值有重根且特徵向量不足，則需考慮 Jordan 標準型。
