調查局三等申論題
112年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
六、$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
六、$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
(一)求 A 的行列式值（determinant）。（5 分）
思路引導 VIP
觀察矩陣特徵，可發現這是一個「上三角矩陣」。對於上/下三角矩陣，其行列式值直接等於主對角線元素的乘積，亦可利用拉普拉斯餘因子展開（沿第一行或第一列降階）來進行嚴謹的推導與驗證。
小題 (二)
(二)求 A 所有特徵值（eigenvalues）及其對應之特徵向量（eigenvectors）。（15 分）
思路引導 VIP
看到求特徵值與特徵向量，第一步先利用行列式 \det(A - $\lambda I) = 0$求出特徵值，注意觀察上三角矩陣的特性可直接得對角線元素為特徵值。第二步將每個特徵值分別代入 (A - $\lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$解齊次聯立方程式，求出對應的特徵向量，並注意重根時可能造成的維度退化情況。
小題 (三)
(三)求 A 的零空間（null space）。（5 分）
思路引導 VIP
看到求「零空間（Null space）」，首要直覺就是依定義解齊次線性聯立方程式 A$\mathbf{x} = \mathbf{0}$。本題矩陣已具備上三角形式，可直接利用回代法（Back substitution）迅速求出各分量；或者觀察對角線元素皆不為零（行列式非零），即可判定其僅有零解。