調查局三等申論題
110年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
一、考慮下列系統 \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4 \\ x_1 + 9x_2 - 2x_3 = -8 \\ 4x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 15 \end{cases}，令 A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 9 & -2 \\ 4 & -8 & 11 \end{bmatrix}。
一、考慮下列系統 \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4 \\ x_1 + 9x_2 - 2x_3 = -8 \\ 4x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 15 \end{cases}，令 A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 9 & -2 \\ 4 & -8 & 11 \end{bmatrix}。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 A 的行列式值（determinant of A）。（5 分）
思路引導 VIP
面對3階矩陣的行列式計算，可直接採用拉普拉斯展開法（餘因子展開）或沙烏士法則（Sarrus' rule）。建議選擇第一列進行餘因子展開，計算過程中務必細心處理正負號的交替與基本四則運算，避免粗心失分。
小題 (二)
求 A 的反矩陣 A^{-1}（inverse of A）。（10 分）
思路引導 VIP
遇到求反矩陣的計算題型，應優先計算行列式值以確認反矩陣存在（det(A) ≠ 0）。對於 3x3 矩陣，建議採用「伴隨矩陣法」（A⁻¹ = adj(A)/det(A)），逐步列出九個餘因子。此法在國家考試中步驟分明，能有效避免高斯-喬登消去法提早出現繁雜分數的計算失誤，最利於爭取完整過程分數。
小題 (三)
求解 (x_1, x_2, x_3)。（10 分）
思路引導 VIP
遇到線性方程組求解，首選『高斯消去法』（Gaussian Elimination）處理增廣矩陣。這不僅是最系統化的標準作法，也能有效避免克拉瑪公式（Cramer's Rule）在計算 $3\times3$ 以上行列式時易犯的數值錯誤。計算時建議先利用列互換將首列主元化為 1，以降低後續分數運算帶來的失誤率。