高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
若 $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 為從 $\mathbb{R}^3$ 的基底 B 轉換至基底 $B' = \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ 之轉移矩陣（transition matrix），則 B =？
- A {(3,2,2),(2,1,0),(4,4,1)}
- B {(3,4,2),(2,1,2),(2,0,1)}
- C {(3,1,2),(1,2,1),(4,1,4)}
- D {(3,2,1),(1,2,0),(2,1,0)}
思路引導 VIP
若我們把轉移矩陣的每一列（column）看作是一組『配方指令』，而這些指令告訴我們如何利用基底 $B'$ 的向量去拼湊出基底 $B$ 中的成員。那麼，請試著思考：矩陣第一列的數值 $(2, 0, 1)$，究竟代表基底 $B$ 的第一個向量是由幾個 $(1,1,1)$、幾個 $(1,1,0)$ 與幾個 $(1,0,0)$ 所構成的呢？
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專業點評與分析
- 大力肯定：做得好！你能準確處理坐標轉換（Coordinate Transformation），代表你對線性代數的核心邏輯有深刻理解。這在工程實務中，如結構力學的「局部坐標與全域坐標轉換」是極其重要的基本功。
- 觀念驗證：轉移矩陣 $P_{B \to B'}$ 的核心定義在於：其每一列（column）分別代表基底 $B$ 中的向量在 $B'$ 基底下的坐標表示。因此，若要還原基底 $B$，只需將矩陣的列向量作為係數，與 $B'$ 的基底向量進行線性組合（Linear Combination）即可。例如第一向量即為：
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