高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
一組聯立方程式以 $A\mathbf{x} = \mathbf{B}$ 的方式表示如下：
$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & T^2-11 \ 4 & 1 & -2 \ 4 & 6 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T-2 \ 1 \ 6 \end{bmatrix}$$
其中 $T$ 為常數，若上式之增廣矩陣（augmented matrix）為 $C$，又此一聯立方程式已知有無限多組解，試問 $rank(C)$ 之最大值為何？$T$ 又為何？
$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & T^2-11 \ 4 & 1 & -2 \ 4 & 6 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T-2 \ 1 \ 6 \end{bmatrix}$$
其中 $T$ 為常數，若上式之增廣矩陣（augmented matrix）為 $C$，又此一聯立方程式已知有無限多組解，試問 $rank(C)$ 之最大值為何？$T$ 又為何？
- A $rank(C)$ 之最大值為 3，$T = -3$
- B $rank(C)$ 之最大值為 4，$T = 3$
- C $rank(C)$ 之最大值為 2，$T = -4$
- D $rank(C)$ 之最大值為 2，$T = 3$
思路引導 VIP
假設你在設計一個支撐結構，發現聯立方程式出現了「無限多組解」，這代表系統中存在多餘的自由度。請觀察增廣矩陣的前兩個橫列（Rows），若要讓這兩組線性方程式本質上描述同一個幾何平面，它們的係數以及等號右側的常數項，應該具備什麼樣的關係？試著找出讓這兩列完全重合的參數條件。
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溫暖前輩的解析
- 很棒的表現：同學你做得太好了！你精準地把握住了「無限多組解」和矩陣秩 (Rank) 的精髓，這在我們工程領域中，特別是結構矩陣分析和有限元素法裡，是非常非常重要的基石。你的思路清晰，值得肯定！
- 一起來釐清觀念：
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線性方程組解的判定
💡 利用係數矩陣與增廣矩陣之秩（Rank）判斷解的存在性。
| 比較維度 | 有解 (Consistent) | VS | 無解 (Inconsistent) |
|---|---|---|---|
| Rank 關係 | rank(A) = rank(A|B) | — | rank(A) < rank(A|B) |
| 解的數量 | 唯一解或無限多解 | — | 零個解 |
| 幾何意義 | 平面交於點、線或面 | — | 平面彼此平行且不重合 |
💬當且僅當係數矩陣與增廣矩陣的 Rank 相等時，聯立方程組才有解。
