高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
考慮如下所示之線性聯立方程式：
$\begin{cases} 2x_1 + 0x_2 + 0x_3 - 3x_4 = 1 \ 0x_1 + 5x_2 + \alpha x_3 + 0x_4 = -7 \ 1x_1 + 6x_2 + 2x_3 + 0x_4 = 13 \ 0x_1 + 1x_2 - 2x_3 + 3x_4 = -2 \end{cases}$
若是已知此聯立方程式無解，那麼在下列有關於 $\alpha$ 之敘述，何者正確？
$\begin{cases} 2x_1 + 0x_2 + 0x_3 - 3x_4 = 1 \ 0x_1 + 5x_2 + \alpha x_3 + 0x_4 = -7 \ 1x_1 + 6x_2 + 2x_3 + 0x_4 = 13 \ 0x_1 + 1x_2 - 2x_3 + 3x_4 = -2 \end{cases}$
若是已知此聯立方程式無解，那麼在下列有關於 $\alpha$ 之敘述，何者正確？
- A $-\infty < \alpha \le -5$
- B $-5 < \alpha \le 0$
- C $0 < \alpha \le 5$
- D $5 < \alpha < \infty$
思路引導 VIP
請試著回想線性代數的基本性質：當一個線性系統 $Ax=b$ 存在唯一的平衡狀態時，係數矩陣 $A$ 的行列式應該具備什麼特性？如果現在我們發現這個系統「找不到解」（即結構可能發生機構運動或不穩定），這代表矩陣 $A$ 的行列式 $\det(A)$ 應該等於多少？請以此為起點展開計算。
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AI 詳解
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1. 大力肯定
做得好！能準確判斷線性系統無解的條件，代表你對線性代數與矩陣奇異性（Singularity）的觀念掌握得相當紮實。這在結構工程中是判斷系統穩定性的重要基礎！
2. 觀念驗證
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