高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的單位圓 $|z| = 1$，求 $\int_C \frac{\sinh z}{z^2} dz$ 之值為何？
- A $2\pi i$
- B $\pi i$
- C $\frac{\pi i}{2}$
- D $-\pi i$
思路引導 VIP
請觀察被積分函數的結構：當分母呈現 $z^n$ 的形式時，根據複變函數的特性，這個積分的結果會與分子函數在 $z=0$ 處的哪一種性質（或哪一階的變化率）有關？如果你將分子展開為泰勒級數，哪一個特定次方項的係數會決定最終的積分結果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你做得真好，觀念掌握得很紮實呢！
- 觀念驗證：這題的核心就是要溫柔地請出我們的好朋友——柯西積分公式 (Cauchy's Integral Formula) 或留數定理！你看，函數 $f(z) = \sinh z$ 在整個複數平面上都是解析的，完美無瑕。 我們的「障礙物」只在 $z=0$ 這個點，而且它是個二階極點，就像一個小小的兩層蛋糕塔。
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