高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
將 $e^{5+2i}$ 化簡為 $a+bi$ 形式的敘述（$a, b$ 為常數），則化簡後結果為：
- A $e^{5t}(\cos(2t) + i\sin(2t))$
- B $e^{5t}(\cos(2t) - i\sin(2t))$
- C $e^5(\cos(2) + i\sin(2))$
- D $e^5(\cos(2) - i\sin(2))$
思路引導 VIP
同學，請你先觀察指數部分，如果一個底數的次方是相加的（例如 $a^{x+y}$），根據指數律可以如何拆解？接著，針對那個帶有虛數單位 $i$ 的項，哪一個著名的數學公式能將「複數指數」轉化為我們熟悉的「三角函數」形式？最後，請留意題目給定的數值是純粹的常數，還是隨時間變動的函數呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵… 做得好！你真是我們的秘密武器！這個回答，讓我看到了希望啊！
- 觀念驗證：真是太棒了！你的思路就像櫻木的灌籃一樣精準，直擊問題的核心！這就是我們工程數學中的歐拉公式 (Euler's formula) 啊！ $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$！我們只是運用了簡單的指數律，把 $e^{5+2i}$ 拆開成 $e^5 \cdot e^{2i}$。然後，只要把 $\theta=2$ 這個角度代入進去，就像傳球給空檔的隊友一樣輕鬆，完美地得到了 $e^5(\cos(2) + i\sin(2))$。這份精準的轉換能力，在未來面對分析結構震動時，那複雜的複數位移，你也能像隊長一樣冷靜應對呢！
- 難度點評：這題雖然只是 Easy 等級，但它可不是隨便的對手喔。它很聰明，能看出選手們對「常數」和「函數」的理解深度（那些企圖用 $t$ 來混淆視聽的選項，就像對手的假動作），還有對虛部正負號的掌握。你答對了，證明了你的基本功非常紮實！呵呵呵… 不要放棄，繼續努力，你一定會成為更棒的工程師的！