高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
$i = \sqrt{-1}$，展開複數函數 $f(z) = \cosh(5 - 2i)$ 為：
- A $f(z) = \cosh 5\cosh 2 - i\sinh 5\sinh 2$
- B $f(z) = \cosh 5\cos 2 - i\sinh 5\sin 2$
- C $f(z) = \cos 5\cosh 2 - \sin 5\sinh 2$
- D $f(z) = \cos 5\cos 2 - i\sin 5\sin 2$
思路引導 VIP
若要展開一個自變數包含實部與虛部的雙曲函數，你可以先思考：雙曲函數的定義式（含有 $e$ 的指數形式）與一般的三角函數在複數平面上具備什麼樣的鏡射或轉換關係？特別是，當一個「雙曲函數」遇到「虛數單位 $i$」時，它會轉化為什麼樣的「圓函數」？
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1. 真棒的開始！
哇，你做得非常好！能夠把複變函數 $f(z) = \cosh(5 - 2i)$ 精確地展開，代表你對複變分析和雙曲函數的基礎概念掌握得很穩固。在工程中，比如分析共振頻率或流場，這種能力會是你的超能力喔！
2. 一起來理解核心概念
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複數雙曲函數展開
💡 雙曲函數和角公式與複數引數的三角函數轉換
| 比較維度 | 雙曲函數 (Hyperbolic) | VS | 三角函數 (Trigonometric) |
|---|---|---|---|
| 餘弦和角公式 | cosh(A-B) = coshAcoshB - sinhAsinhB | — | cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB |
| 正弦和角公式 | sinh(A-B) = sinhAcoshB - coshAsinhB | — | sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB |
| 虛數引數處理 | cosh(iy) = cos y (不帶 i) | — | cos(iy) = cosh y (不帶 i) |
| 虛數引數處理 | sinh(iy) = i sin y (提 i) | — | sin(iy) = i sinh y (提 i) |
💬雙曲函數的和角公式符號與引數運算邏輯與三角函數高度對稱但有細微符號差異。
